Integral und Volumen

1. Eine Schale entstehe durch Rotation des Graphen der Funktion um die x Achse im Intervall [0;5] (Angaben in cm).
a) Man fertige eine Skizze an.
b) Man berechne das Volumen der Schale.
c) In die Schale wird 0,1 Liter Flüssigkeit eingefüllt. Wie hoch steht die Flüssigkeit im Gefäß?
d) Welche Höhe muß die Schale mindestens haben, damit sie 0,25 Liter faßt?
2. Eine Vase hat als äußere Begrenzung die Form eines halben einschaligen Drehhyperboloids und als innere Begrenzung die Form eines Drehparaboloids. Der äußere obere Durchmesser beträgt 16 cm, der innere obere Durchmesser 12 cm. Der Boden hat einen Durchmesser von 8 cm und ist an der dünnsten Stelle 1 cm dick. Die Höhe der Vase beträgt 9 cm.
a) Welche Masse hat die Vase, wenn sie aus Ton gefertigt ist? (ρ=1,5 g/cm³)
b) Wie hoch steht 1/4 Liter Wasser in der Vase?
3. Ein Likörglas ist ohne Berücksichtigung des Sockels 6cm hoch. Die äußere Begrenzung des Querschnitts besteht aus einem Hyperbelteil (a=1) und einem Kreisbogen. Der Punkt P(3/4) ist gemeinsamer Punkt beider Kurven. Außerdem besitzen die Hyperbel und der Kreis im Punkt P eine gemeinsame Tangente.
a) Berechne die Hyperbelgleichung und die Kreisgleichung.
b) Die innere Begrenzung des Glases ist durch die Parabel par: y=2+x²/3 gegeben. Berechne das Volumen und die Masse (ρ=2,5 g/cm³) des Likörglases.
c) Wie hoch (vom Boden) muss eine Markierung für 1/16 Liter angebracht werden?
4. Eine Funktion f(x) hat an der Stelle 4 den Funktionswert -3. Die erste Ableitung dieser Funktion lautet .
a) Ermittle die Funktionsgleichung.
b) Diskutiere die Funktion und zeichne ihren Graphen in [-5 ;5].
c) Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit den Wendetangenten einschließt. Berechne weiters den Gesamtinhalt der Flächenstücke, die der Graph mit der x-Achse einschließt. Gib das Verhältnis der beiden Flächeninhalte in möglichst einfachen ganzen Zahlen an.
d) Beide Flächenstücke rotieren um die x-Achse. Berechne die Volumina der entstehenden Rotationskörper und deren Verhältnis.
5. Der schleifenartige Teil des Graphen von legt den Querschnitt eines drehsymmetrischen stromlinienförmigen „Tanks“ fest. Berechne von diesem „Tank“
a) das Volumen,
b) die maximale Dicke und
c) den Winkel an der „Spitze“
6. Der Querschnitt eines Sektglases (ohne Stiel) hat die Form einer Parabel mit der Gleichung y = 2x².
a) Das Glas hat, wenn es randvoll gefüllt ist, ein Fassungsvermögen von 0,1 Liter. Wie hoch ist es und wie groß ist der Durchmesser am oberen Glasrand (auf 2 Dezimalen genau)?
b) Auf dem Maturaball wird Sekt-Orange angeboten. Frau K.G. schenkt zuerst bis zu einer Höhe von 5 cm Sekt ein und dazu weitere 5 cm Orangensaft. Indes macht es Frau M.R. umgekehrt. Beide verkaufen 50 Gläser Sekt-Orange. Um wie viel € hat Frau K.G. mehr verdient, wenn 1 Liter Sekt im Einkauf € 6,- bzw. 1 Liter Orangensaft € 0,50 gekostet hat und beide ein Glas Sekt um € 4,- verkauft haben?
7. Eine Vase besteht im unteren Teil aus einer Halbkugel, die im oberen Teil durch ein Paraboloid fortgesetzt wird, dessen Scheitel im Kugelmittelpunkt liegt. Gegeben sind die inneren Maße: Basisdurchmesser 10 cm, Durchmesser des oberen Randes 12 cm, Gesamthöhe 16 cm. Wie viel Liter fasst die Vase? In welcher Höhe ist eine Markierung für 1 Liter anzubringen?

Integrationsmethoden

Ermittle die Stammfunktion:

Funktionen und Flächen

1. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Tangente im Punkt P(4/y) und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

2. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Wendetangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

3. Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Normalen im Punkt P(1/y) und der x-Achse begrenzt wird.

4. Durch P(x|30) der Parabel y² = 60x wird eine Tangente und parallel zu ihr eine Parallelsehne durch den Scheitel gezogen. Wie groß ist das von der Parallelsehne abgeschnittene Flächenstück?

Stammfunktionen

Berechne folgende Integrale (Grundintegrale, ohne Verwendung von Integrationsmethoden!)

1.

2.

3.

4.

Taufbecken & Mathematik

Ein Taufbecken besteht im Fußteil aus einem Ellipsoid, der Oberteil wird von 2 Parabeln erzeugt.

a) Ermittle die 3 Funktionsgleichungen! (Abmessungen siehe Skizze, Angaben in cm).
b) Wie schwer ist das Becken, wenn die Dichte ρ=4,8 kg/dm³ beträgt?
c) Wie viel Flüssigkeit passt in das komplett gefüllte Becken, wie viel, wenn es bis zur halben Höhe gefüllt ist?
d) Wie hoch steht das Wasser, wenn 10 Liter eingefüllt werden?

Volumsberechnung mit Integral

Ein Fass ist 8 dm lang, sein Durchmesser beträgt in der Mitte 8 dm und am Rand 6 dm. Die Fassdauben haben die Form einer Parabel. Wie groß ist das Volumen des Fasses?
(Tipp: Zeichne das Fass so in das Koordinatensystem, dass der Ursprung im Mittelpunkt liegt und die x-Achse die Rotationsachse ist, und ermittle die Gleichung der Parabel y = ax² + b.)