Differenzialrechnung « Übungsaufgaben

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Aufstellen von Polynomfunktionen

1. Eine ganz rationale Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx +d geht durch den Punkt P(2/0), hat einen Extremwert E(1/y) und den Wendepunkt W(0/2). Beweisen Sie: die Funktionsgleichung lautet f(x) = -x³ + 3x + 2.

2. Der Graph einer Polynomfunktion 3-ten Grades geht durch A(0/-2) und hat im Wendepunkt B(2/y) die Tangente t: 3x + y = 6. Berechnen Sie die Funktionsgleichung. Zeigen Sie: f(x) = x³ – 6x² + 9x – 2

3. Eine Polynomfunktion f(x) 4.ten Grades liegt symmetrisch zur y-Achse, verläuft durch den Punkt P(2|2,25) und hat in E(4|0) einen Extremwert. Ermittle f(x).

4. Eine ganz rationale Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d mit dem Wendepunkt W (3/y) und der Wendetangente y + 3x = 11 geht durch den Punkt P(4/0). Beweisen Sie: die Funktionsgleichung lautet f(x) = x³ – 9x² + 24x – 16.

5. Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades hat im Punkt P(4/y) die Tangente 16x + y = 64 und im Ursprung einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x).

1 comment 8. November 2008

Kurvendiskussion (Polynomfunktionen)

1) Diskutiere die Funktion $f(x)=x^3-6x^2+9x$
2) Diskutiere die Funktion $f(x)=x^3-6x^2+9x-4$
3) Diskutiere die Funktion $f(x)=x^3-3x^2+4$
4) Diskutiere die Funktion $f(x)=x^4-6x^2+5$

1 comment 26. Oktober 2008

Weitere Aufgaben zum Ableiten

$f(x)=x^2\sin x$

$g(x)=(x^2+x)\sin 2x$

$h(x)=(x+2)^2\sin 2x$

$l(x)=x^4\cos(x^2)$

$m(x)=(x^3+3)\cos 3x$

$n(x)=(x^2+2)^2\cos 3x$

$p(x)=\sin x\cos x$

$q(x)=\sin^2 x\cos x$

$r(x)=\sin^2 x\cos^2 x$

1 comment 15. Oktober 2008

Ableitungsregeln

Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen.

$f_1(x)=(2x+3)^4(4x^2-6)^7$

$f_2(x)=(2x^4-3)^5(3x-4x^5)^4$

$f_3(x)=(3x+2)^4\sqrt{1+x^2}$

$f_4(x)=(x+2)^2\sqrt{x+1}$

$f_5(x)=(x^3-1)^3\sqrt{x^2+x+1}$

$f_6(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}$

$f_7(x)=\sqrt{\frac{1}{x^2-2}}$

$f_8(x)=\sqrt{1-x}$

$f_9(x)=\sqrt{\sin x}$

$f_{10}(x)=\frac{\cos x+x}{\sin x-x}$

1 comment 15. Oktober 2008

Tangente & Ableitung

1) a) An welcher Stelle haben f(x) = 4x² – 2x und g(x) = x² + 4x dieselbe Tangentensteigung? Berechne auch die Gleichungen der beiden Tangenten!
b) Bestimme die Gleichung einer Tangente t an die Funktion f(x), die parallel zur Geraden g: y=14x-2 verläuft! Wie lauten die Koordinaten des Berührpunktes?

2) Suche jene Punkte auf $f(x) = x^3+\frac{9}{2}x^2-30x$ , in denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt! Erkläre ausführlich, was man aus der Lage dieser Punkte für den Verlauf der Funktion entnehmen kann!
3) An welcher Stelle haben f(x) = 3x² + 4x und g(x) = 2x² +2x dieselbe Tangentensteigung? Berechne auch die Gleichungen der beiden Tangenten!

3 comments 9. November 2007

Differenzenquotient und Differenzialquotient

1) Die Schockwelle einer atomaren Explosion breitet sich annähernd mit s(t) = 1,6t² +3,2t (s in km, t in s) aus. Berechne die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit in den Intervallen [0,3] ,[2,5],[3,10] sowie die Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten t = 1, 2, 4, 8,10.
2) Die Menge M einer bestimmten Ware, die zum Preis p verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: M(p) = -250p²+156250 beschreiben.

a) Bestimme mittels Differenzenquotienten, wie stark die Nachfrage sinkt, wenn der Preis von 10,- € auf 12,- € bzw. von 15,- € auf 20,- € erhöht wird. Wie hoch ist in beiden Fällen die Abnahme je € Preissteigerung?
b) Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8,- € (15,- €, 20,- €) rechnen? Bei welchem Preis ist die Ware unverkäuflich? Erstelle auch eine Zeichnung der Funktion!

3) Für eine Nachfragefunktion N(p) gilt: N(p) = -60p² + 1200p.
a) Für welche Preise gilt N(p) = 0? Zeichne die Funktion!
b) Bestimme die Änderung der Nachfrage für p=5,- € (8,- €), (12,- €)!
c) In welchem Bereich nimmt die Nachfrage zu, in welchem nimmt sie ab? Welcher Zusammenhang mit N’(p) lässt sich erkennen? Wie verhält sich N(p) für p=10,- €?

4) Heavy Harry, eine wahrhaft gewichtige Gestalt der New Yorker Unterwelt, fand ein unrühmliches Ende, als er von einer unbekannten Hand aus einem Fenster des 65. Stockwerks gestoßen wurde. Unter der Annahme, das dies einer Höhe von 200m entspricht, lässt sich die Höhe H, in der sich Harry nach t Sekunden befand, durch die Funktion H(t) = 200 – 5t² beschreiben.
a) Skizziere den Verlauf der Funktion in einem sinnvollen Bereich und beschreibe alle ihre Eigenschaften!
b) Wie lange dauerte der „Flug“ Harrys und wie lässt sich dieser Wert interpretieren?
c) Berechne die mittlere Änderung der Höhe pro Sekunde in den Zeitintervallen [1; 3] und [2; 5]und interpretiere das Ergebnis!
d) Mit welcher Geschwindigkeit schlug Harry auf dem Boden auf (vernachlässige den Luftwiderstand!)

5) „Rechts kommt nichts!“ – Dies waren die letzten Worte Gudruns, dann wurde es Nacht um sie…
Wenn man annimmt, dass der schnittige Ferrari, mit dem Gudruns Freund die Reifen rauchen ließ, aus dem Stand beschleunigte, lässt sich die Entfernung s bis zur 150m entfernten Kreuzung durch die Funktion s(t)= 150 – 4t² beschreiben.
a) Skizziere den Verlauf der Funktion in einem sinnvollen Bereich und beschreibe alle ihre Eigenschaften!
b) Wie viel Zeit verging vom Start bis zum Aufprall und wie lässt sich dieser Wert interpretieren?
c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit pro Sekunde in den Zeitintervallen [1; 3] und [2; 5] und interpretiere das Ergebnis!
d) Mit welcher Geschwindigkeit erfolgte der Aufprall (vernachlässige den Luftwiderstand!)?

1 comment 9. November 2007

Extremwertaufgaben

1. Ein Kellerfenster soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wenn sein Umfang u = 4 m sein soll, wie sind die Abmessungen zu wählen, damit möglichst viel Licht durch das Fenster fällt?

2. Zwischen den 8 km voneinander entfernten Punkten A und B einer geradlinig verlaufenden Eisenbahnstrecke soll ein Bahnhof für zwei Orte C und D errichtet werden. C hat von A einen Normalabstand von 2 km, D hat von B einen Normalabstand von 5 km. Beide Orte liegen auf der gleichen Seite der Eisenbahnstrecke. In welcher Entfernung von A muß der Bahnhof gebaut werden, damit die Gesamtlänge des Weges vom Bahnhof nach C und D minimal wird ? Wie lang sind die beiden Wege?

3 comments 27. Oktober 2007