Aufstellen von Polynomfunktionen

1. Eine ganz rationale Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx +d geht durch den Punkt P(2/0), hat einen Extremwert E(1/y) und den Wendepunkt W(0/2). Beweisen Sie: die Funktionsgleichung lautet f(x) = -x³ + 3x + 2.

2. Der Graph einer Polynomfunktion 3-ten Grades geht durch A(0/-2) und hat im Wendepunkt B(2/y) die Tangente t: 3x + y = 6. Berechnen Sie die Funktionsgleichung. Zeigen Sie: f(x) = x³ – 6x² + 9x – 2

3. Eine Polynomfunktion f(x) 4.ten Grades liegt symmetrisch zur y-Achse, verläuft durch den Punkt P(2|2,25) und hat in E(4|0) einen Extremwert. Ermittle f(x).

4. Eine ganz rationale Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d mit dem Wendepunkt W (3/y) und der Wendetangente y + 3x = 11 geht durch den Punkt P(4/0). Beweisen Sie: die Funktionsgleichung lautet f(x) = x³ – 9x² + 24x – 16.

5. Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades hat im Punkt P(4/y) die Tangente 16x + y = 64 und im Ursprung einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x).

Kurvendiskussion (Polynomfunktionen)

1) Diskutiere die Funktion
2) Diskutiere die Funktion
3) Diskutiere die Funktion
4) Diskutiere die Funktion

ggT & kgV

1. Bei einem Neubau ist jedes Stockwerk 2,55 m hoch, der Keller dagegen 2,89 m.
Es sollen überall Treppen mit gleichhohen Stufen eingebaut werden.
Wie hoch kann man eine Stufe höchstens machen?
Wie viele Stufen sind es dann im Keller?
2. Renate will eine 92 cm lange und 68 cm breite Tischplatte mit möglichst großen, quadratischen Mosaikplättchen bekleben.
Welche Seitenlänge muss ein solches Plättchen haben? Wie viele braucht Renate davon?
3. Auf eine Seite einer Waage werden Wägestücke mit je 42 g gelegt, auf die andere Waagschale werden Wägestücke mit je 24 g gelegt.
a) Welches Gewicht liegt mindestens auf jeder Seite, wenn die Waage im Gleichgewicht ist?
b) Wie viele Wägestücke muss man von jeder Sorte wählen, damit die Waage im Gleichgewicht ist?
c) Es gibt auch noch weitere Lösungen der Aufgabe mit mehr Wägestücken! Wie lauten diese?
4. Eine 3,24m lange und 1,32m hohe Wand soll mit möglichst großen quadratischen Fliesen (Zentimetermaß) so ausgelegt werden, daß kein Verschnitt ist. Wie groß ist eine Fliese und wieviele benötigt man?
5. Von einem Hafen aus fährt alle 42 Tage ein Schiff nach Amerika, alle 70 Tage fährt eins nach Afrika und alle 84 Tage fährt eines nach Australien. In welchen Zeitabständen fahren am selben Tag 2 Schiffe, bzw. 3 Schiffe ab?
6. Ein Schwimmbad hat die Abmessungen 50m x 25m x 2,4m und soll mit möglichst großen quadratischen Fliesen ausgelegt werden (ganzes Zentimetermaß)

Weitere Aufgaben zum Ableiten

Ableitungsregeln

Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen.

Statistik, Testen von Hypothesen

1) Das AKW Temelin erhitzte in letzter Zeit die Gemüter.
a) Laut einer Studie beträgt das Risiko für einen schweren Unfall im AKW Temelin pro Jahr 1:13000
i) Berechne unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit, dass es während einer 30-jährigen Betriebsdauer zu mindestens einem schwerwiegenden Unfall kommt!
ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im 30. Betriebsjahr der erste Unfall passiert?
Laut einer Umfrage ist jeder vierte Oberösterreicher gegen eine Inbetriebnahme des AKW Temelin. Diese Personen werden in der Folge als „Temelin-Gegner“ bezeichnet.
b1) Eine repräsentative Stichprobe von 200 Personen wird zu ihren Motiven pro oder contra Temelin befragt.
i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 40 “Temelin-Gegner” darunter sind.
ii) Mit welcher Mindestanzahl von “Temelin-Gegnern” ist mit 90 % iger Wahrscheinlichkeit zu rechnen?
iii) In welchem um den Erwartungswert symmetrischen Intervall liegt die Anzahl der „Temelin-Gegner“ mit 95 % iger Wahrscheinlichkeit?
b2) Nach einigen Wochen (und zwischenzeitlicher Panikmache in einigen Medien) führt eine Tageszeitung eine telefonische Umfrage unter 100 Oberösterreichern durch, wovon sich 35 als “Temelin-Gegner” deklarieren. Am nächsten Tag wird die Schlagzeile “Bereits 35 % der Oberösterreicher gegen Temelin!” gedruckt.
i) Kann mit einer Signifikanz von 1 % behauptet werden, dass die Anzahl der “Temelin-Gegner” zugenommen hat? Schreibe eine ausführliche Antwort!
ii) Welche statistische Sicherheit weist die (auf 1% genaue) Schätzung in obiger Zeitungsmeldung auf? Nimm zur Formulierung kritisch Stellung!

Integral und Volumen

1. Eine Schale entstehe durch Rotation des Graphen der Funktion um die x Achse im Intervall [0;5] (Angaben in cm).
a) Man fertige eine Skizze an.
b) Man berechne das Volumen der Schale.
c) In die Schale wird 0,1 Liter Flüssigkeit eingefüllt. Wie hoch steht die Flüssigkeit im Gefäß?
d) Welche Höhe muß die Schale mindestens haben, damit sie 0,25 Liter faßt?
2. Eine Vase hat als äußere Begrenzung die Form eines halben einschaligen Drehhyperboloids und als innere Begrenzung die Form eines Drehparaboloids. Der äußere obere Durchmesser beträgt 16 cm, der innere obere Durchmesser 12 cm. Der Boden hat einen Durchmesser von 8 cm und ist an der dünnsten Stelle 1 cm dick. Die Höhe der Vase beträgt 9 cm.
a) Welche Masse hat die Vase, wenn sie aus Ton gefertigt ist? (ρ=1,5 g/cm³)
b) Wie hoch steht 1/4 Liter Wasser in der Vase?
3. Ein Likörglas ist ohne Berücksichtigung des Sockels 6cm hoch. Die äußere Begrenzung des Querschnitts besteht aus einem Hyperbelteil (a=1) und einem Kreisbogen. Der Punkt P(3/4) ist gemeinsamer Punkt beider Kurven. Außerdem besitzen die Hyperbel und der Kreis im Punkt P eine gemeinsame Tangente.
a) Berechne die Hyperbelgleichung und die Kreisgleichung.
b) Die innere Begrenzung des Glases ist durch die Parabel par: y=2+x²/3 gegeben. Berechne das Volumen und die Masse (ρ=2,5 g/cm³) des Likörglases.
c) Wie hoch (vom Boden) muss eine Markierung für 1/16 Liter angebracht werden?
4. Eine Funktion f(x) hat an der Stelle 4 den Funktionswert -3. Die erste Ableitung dieser Funktion lautet .
a) Ermittle die Funktionsgleichung.
b) Diskutiere die Funktion und zeichne ihren Graphen in [-5 ;5].
c) Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit den Wendetangenten einschließt. Berechne weiters den Gesamtinhalt der Flächenstücke, die der Graph mit der x-Achse einschließt. Gib das Verhältnis der beiden Flächeninhalte in möglichst einfachen ganzen Zahlen an.
d) Beide Flächenstücke rotieren um die x-Achse. Berechne die Volumina der entstehenden Rotationskörper und deren Verhältnis.
5. Der schleifenartige Teil des Graphen von legt den Querschnitt eines drehsymmetrischen stromlinienförmigen “Tanks” fest. Berechne von diesem “Tank”
a) das Volumen,
b) die maximale Dicke und
c) den Winkel an der “Spitze”
6. Der Querschnitt eines Sektglases (ohne Stiel) hat die Form einer Parabel mit der Gleichung y = 2x².
a) Das Glas hat, wenn es randvoll gefüllt ist, ein Fassungsvermögen von 0,1 Liter. Wie hoch ist es und wie groß ist der Durchmesser am oberen Glasrand (auf 2 Dezimalen genau)?
b) Auf dem Maturaball wird Sekt-Orange angeboten. Frau K.G. schenkt zuerst bis zu einer Höhe von 5 cm Sekt ein und dazu weitere 5 cm Orangensaft. Indes macht es Frau M.R. umgekehrt. Beide verkaufen 50 Gläser Sekt-Orange. Um wie viel € hat Frau K.G. mehr verdient, wenn 1 Liter Sekt im Einkauf € 6,- bzw. 1 Liter Orangensaft € 0,50 gekostet hat und beide ein Glas Sekt um € 4,- verkauft haben?
7. Eine Vase besteht im unteren Teil aus einer Halbkugel, die im oberen Teil durch ein Paraboloid fortgesetzt wird, dessen Scheitel im Kugelmittelpunkt liegt. Gegeben sind die inneren Maße: Basisdurchmesser 10 cm, Durchmesser des oberen Randes 12 cm, Gesamthöhe 16 cm. Wie viel Liter fasst die Vase? In welcher Höhe ist eine Markierung für 1 Liter anzubringen?

Wachstum- und Zerfallsprozesse

1. Eine Bakterienkultur wird von einer Krankheit befallen, ihre Population nimmt daher stark ab: 10 Tage nach Beginn des Beobachtungszeitraums hat sie bereits um 40 % abgenommen, nach weiteren 8 Tagen umfasst sie nur mehr 40 000 Bakterien. Berechne die Anfangspopulation! Stelle die Entwicklung der Population N(t) durch eine Exponentialfunktion (und durch eine Differentialgleichung) dar! Um wie viel Prozent nimmt die Population täglich ab? Um wie viel Prozent nimmt sie in 5 Tagen ab? In welchem Zeitraum nimmt sie um die Hälfte ab? Nach wie viel Tagen ist die Population unter ein Bakterium gesunken, also praktisch ausgestorben?
2. U131 ist ein β-Strahler mit einer Halbwertszeit von 6 Tagen. Gib das Zerfallsgesetz auf zwei Arten an! Wenn von einer Probe nach 16 Tagen noch 50 mg vorhanden sind, wie viel mg waren es dann am Anfang? Nach wie viel Tagen ist nur mehr 1 mg vorhanden? Berechne die prozentuelle Änderung vom Ende des 5. bis zum Ende des 10. Tages! Leite aus dem Zerfallsgesetz eine Differentialgleichung her, die diesen Zerfall beschreibt! Beschreibe, was diese Differentialgleichung inhaltlich aussagt!
3. Wenn Licht in einen durchsichtigen Stoff eintritt, wird ein Teil des Lichts beim Durchlaufen des Stoffes absorbiert Die Abnahme der Lichtintensität I(d) beim Durchgang durch eine Schicht der Dicke d erfolgt exponentiell. Licht wird beim Durchdringen einer Schicht von 10 mm Dicke auf 80 % des ursprünglichen Wertes geschwächt. Berechne, um wie viel Prozent das Licht pro mm geschwächt wird! Bei welcher Schichtdicke ist eine Abschwächung um 70 % zu erwarten?
Wie viel Prozent werden von einer 100 mm dicken Schicht absorbiert?
Welche Beziehung besteht zwischen der Intensität bei der Schichtdicke d und der Änderungsrate der Intensität bei derselben Schichtdicke? Stelle diese Beziehung durch eine Formel dar!
4. Die Bevölkerung Oberösterreichs ist von 1 289 000 im Jahr 1986 auf 1 315 000 im Jahr 2000 angewachsen. Beschreibe die Bevölkerungsentwicklung a) mit Hilfe eines linearen Modells; b)mit Hilfe eines exponentiellen Modells. Untersuche jeweils, wann nach diesen beiden Modellen Oberösterreich menschenleer gewesen wäre! Stelle in einer Zeichnung die Bevölkerungsentwicklung nach beiden Modellen vom Jahr 2000 bis zum Jahr 2500 dar und vergleiche! Ermittle aus der Zeichnung, ab wann die nach den beiden Modellen prognostizierten Bevölkerungszahlen um mehr als 200 000 differieren!
5. In einem Gefäß befindet sich heißes Wasser mit der Temperatur T2 = 80°C. Die Umgebung hat die Temperatur T1 = 20°C. Die Abkühlung auf die Temperatur T erfolgt nach dem Gesetz (T in Celsiusgraden und t in Minuten) Welche Temperatur hat das Wasser nach a) 10 min, b) 40min?
6. Frau Süss erhält eine Tasse mit besonders heißem Tee (90°C) serviert. Da sie ihn gezuckert liebt, möchte sie zwei Stück Zucker hineinwerfen. Dadurch wird der Tee, vor allem durch den Lösungsvorgang um etwa 15 °C abgekühlt. Frau Süss liebt eine Trinktemperatur von etwa 35°C. Ist es nun klüger, den Zucker sofort hineinzuwerfen oder abzuwarten, bis der Tee auf eine Temperatur von 50°C abgekühlt ist und dann erst zu zuckern? Verwende die Formel und die Umgebungstemperatur vom Beispiel 5.

Rationalmachen des Nenners

Der Nenner soll ohne Wurzeln dargestellt werden:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Gleichungen (1. Klasse)

(a) 2 . x + 23 = 47
(b) 14 + 3x = 32
(c) 6. x + 9 = 27
(d) 35 = 3.x + 17
(e) 24 = 4.x – 12
(f) 33 = 48 – 3x
(g) 8.x – 14 = 10
(h) 44 – 2.x = 26
(i) 25 + 6.x = 37

Grundrechnungsarten: Vorrangregeln

(1) 123 . 56 + 634 – 123 . 25 – 54 + 1345 . 7 – 814 + 6 =
(2) 89 – 29 . 44 + 16 – 7 . 25 + 25 – 18 . 4 + 423 + 975 =
(3) 47 – 23 . 4 . 15 + 133 . 7 – 14 : 7 + 233 – 178 : 89 + 322 + 51 =
(4) 135 : 15 – 43 – 17 . 24 – 9 + 153 . 28 + 1899 – 732 =
(5) 12567 – 356 . 123 + 187934 – 19744 : 16 + 118355 + 59499 =
(6) 2345 – (516 . 25 + 2334 – 5816) – 655 . 24 + 7312 + 15481 =
(7) 23 . 14 – 4 + (518 . 7 – 423) – (256 : 16 + 523) – 8 . 45 – 622 =
(8) 56 – (879 . 25 – 3 456 + 4567) . (455 : 5 – 99 + 234) – 5677 + 5223057 =
(9) 2677 – (4521 . 5 + 12345 : 3 – 26345) . ( 57344 : 256 – 221) – 552 =
(10) 12 . 33 – (24 . 405 – 205 : 5) . 8 + 335 . 54 + (328 – 28 . 7) . 32 + 54723 =
(11) 124 + (325 – 25 . 4) . (18 – 34 . 5 +160) – 44 . 63 + (18 + 22) . (3 + 4 . 5) + 28 =
(12) (23 . 16 – 45 – 2) : (18 . 22 – 289) – (133 : 19 – 23 + 5 . 8 ) : (96 – 8 . 9) =

Kosten & Preis-Beispiel für Frau L.

Die ENOX GmbH produziert Schaltanlagen. Bei der Herstellung von x Mengeneinheiten (1 ME = 1.000 Stück) entstehen Kosten, die sich berechnen lassen durch: K(x) = 5 x³ – 10 x² + 40 x + 40 . Zur Vereinfachung berechnet die ENOX GmbH diese Kosten in Geldeinheiten (1 GE = 10.000 €).
Beim Verkauf von 10 ME Wird ein Erlös von 900 GE erzielt. (Formuliere zu den Aufgabenteilen b) – f) Antwortsätze mit € und Stück)
a) Bestimme die Gleichungen der linearen Erlösfunktion und der Gewinnfunktion.
b) Zeige, dass bei 4 ME Kosten und Erlös gleich sind. Bestimme damit Gewinnschwelle und –grenze.
c) Berechne das Gewinnmaximum.
d) Wo wechselt der Kostenanstieg vom degressiven in den progressiven Bereich?
e) Berechne das Betriebsminimum.
f) Berechne das Betriebsoptimum.

Rentenrechnung

Frau L. hat einen Kredit aufgenommen, den sie – bei einem Quartalszinssatz von – in 40 nachschüssigen Quartalsraten von 500 € zurückzahlen muss. Nach 3 Jahren wird der Zinssatz auf erhöht.
Um wie viel verlängert sich die Laufzeit des Kredits, wenn Frau L. die Raten in der bisherigen Höhe weiterzahlt?

Vektoren in R²

1) Der Punkt B der Basis AB eines gleichschenkeligen Dreiecks liegt auf der Geraden durch A(4|3) und T(7|2) in Richtung T. Die Basislänge ist , C liegt auf der y-Achse. Bestimme B, C.

2) Ein Rhombus ist festgelegt durch: A ist der Schnittpunkt der Geraden und ; , , B und D liegen in QI; . Berechne die Koordinaten von A, B, C, D! Wie lang sind die Diagonalen [A,C] und [B,D]? Was folgt daraus?

Und noch ein paar Wurzeln

Vereinfache:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Komplexe Zahlen

1) Wie lautet die quadratische Gleichung, für die eine Lösung ist?

2) Berechne in Normalform und gib das Ergebnis in Polarform an:
a)
b)
a)

3) Berechnen Sie für z= 2 + 2 i. (Beachte !)

4) Ermittle die Lösungsmenge: x³-x²+17x+87=0

5) Berechne mit der Formel von Moivre:
a)
b)

Tangente & Ableitung

1) a) An welcher Stelle haben f(x) = 4x² – 2x und g(x) = x² + 4x dieselbe Tangentensteigung? Berechne auch die Gleichungen der beiden Tangenten!
b) Bestimme die Gleichung einer Tangente t an die Funktion f(x), die parallel zur Geraden g: y=14x-2 verläuft! Wie lauten die Koordinaten des Berührpunktes?

2) Suche jene Punkte auf , in denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt! Erkläre ausführlich, was man aus der Lage dieser Punkte für den Verlauf der Funktion entnehmen kann!
3) An welcher Stelle haben f(x) = 3x² + 4x und g(x) = 2x² +2x dieselbe Tangentensteigung? Berechne auch die Gleichungen der beiden Tangenten!

Differenzenquotient und Differenzialquotient

1) Die Schockwelle einer atomaren Explosion breitet sich annähernd mit s(t) = 1,6t² +3,2t (s in km, t in s) aus. Berechne die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit in den Intervallen [0,3] ,[2,5],[3,10] sowie die Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten t = 1, 2, 4, 8,10.
2) Die Menge M einer bestimmten Ware, die zum Preis p verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: M(p) = -250p²+156250 beschreiben.

a) Bestimme mittels Differenzenquotienten, wie stark die Nachfrage sinkt, wenn der Preis von 10,- € auf 12,- € bzw. von 15,- € auf 20,- € erhöht wird. Wie hoch ist in beiden Fällen die Abnahme je € Preissteigerung?
b) Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8,- € (15,- €, 20,- €) rechnen? Bei welchem Preis ist die Ware unverkäuflich? Erstelle auch eine Zeichnung der Funktion!

3) Für eine Nachfragefunktion N(p) gilt: N(p) = -60p² + 1200p.
a) Für welche Preise gilt N(p) = 0? Zeichne die Funktion!
b) Bestimme die Änderung der Nachfrage für p=5,- € (8,- €), (12,- €)!
c) In welchem Bereich nimmt die Nachfrage zu, in welchem nimmt sie ab? Welcher Zusammenhang mit N’(p) lässt sich erkennen? Wie verhält sich N(p) für p=10,- €?

4) Heavy Harry, eine wahrhaft gewichtige Gestalt der New Yorker Unterwelt, fand ein unrühmliches Ende, als er von einer unbekannten Hand aus einem Fenster des 65. Stockwerks gestoßen wurde. Unter der Annahme, das dies einer Höhe von 200m entspricht, lässt sich die Höhe H, in der sich Harry nach t Sekunden befand, durch die Funktion H(t) = 200 – 5t² beschreiben.
a) Skizziere den Verlauf der Funktion in einem sinnvollen Bereich und beschreibe alle ihre Eigenschaften!
b) Wie lange dauerte der “Flug” Harrys und wie lässt sich dieser Wert interpretieren?
c) Berechne die mittlere Änderung der Höhe pro Sekunde in den Zeitintervallen [1; 3] und [2; 5]und interpretiere das Ergebnis!
d) Mit welcher Geschwindigkeit schlug Harry auf dem Boden auf (vernachlässige den Luftwiderstand!)

5) “Rechts kommt nichts!” – Dies waren die letzten Worte Gudruns, dann wurde es Nacht um sie…
Wenn man annimmt, dass der schnittige Ferrari, mit dem Gudruns Freund die Reifen rauchen ließ, aus dem Stand beschleunigte, lässt sich die Entfernung s bis zur 150m entfernten Kreuzung durch die Funktion s(t)= 150 – 4t² beschreiben.
a) Skizziere den Verlauf der Funktion in einem sinnvollen Bereich und beschreibe alle ihre Eigenschaften!
b) Wie viel Zeit verging vom Start bis zum Aufprall und wie lässt sich dieser Wert interpretieren?
c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit pro Sekunde in den Zeitintervallen [1; 3] und [2; 5] und interpretiere das Ergebnis!
d) Mit welcher Geschwindigkeit erfolgte der Aufprall (vernachlässige den Luftwiderstand!)?

Potenzen

Hypergeometrische Verteilung

1. In einem Vorratsraum sind 150 Eier, von denen 7 mit Salmonellen verseucht sind. Es werden 30 Eier zur Verarbeitung geholt.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau

    (1) 3

    (2) 5 verseuchte Eier geholt werden. [0,1134; 0,0035]

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

    (1) mindestens 1

    (2) weniger als 3 verseuchte Eier geholt werden. [0,79773; 0,8557]

c) Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung [1,4; 1,03677]

 

2. In einer Klasse mit 28 Schülern haben 9 Schüler die Mathematikhausübung nicht gemacht. Prof. F. kontrolliert bei 8 Schülern die Hausübung.

a) Ermittle die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Prof. F.

    (1) genau 4

    (2) alle 8

    (3) mehr als 3

    (4) höchstens 5 Schüler ohne Hausübung erwischt. [0,1571; 0,0000029; 0,20126; 0,99516]

c) Mit wie viel Schülern ohne Hausübung kann der Lehrer rechnen? Berechne auch die Standardabweichung. [2,57; 1,14]

Integrationsmethoden

Ermittle die Stammfunktion:

Funktionen und Flächen

1. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Tangente im Punkt P(4/y) und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

2. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Wendetangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

3. Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Normalen im Punkt P(1/y) und der x-Achse begrenzt wird.

4. Durch P(x|30) der Parabel y² = 60x wird eine Tangente und parallel zu ihr eine Parallelsehne durch den Scheitel gezogen. Wie groß ist das von der Parallelsehne abgeschnittene Flächenstück?

Quadratische Gleichungen mit Brüchen

Quadratische Gleichungen mit Formvariablen

Gib die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a an!
(a) 4x² – 12x + (9 – a²) = 0
(b) 2x(x – a) + a(x – a) = 0
(c) (x – a)(x + a) + (x + a)² = 24a²
(d) (x – a)² + (ax – 1)² = a²(x² – 2) + 1

Wie muss a gewählt werden, damit folgende Gleichungen nur 1 Lösung besitzen? Gib die möglichen Gleichungen samt Lösungsmenge an:
(a) 2x² + (x + a)² + a = 0
(b) x² + 4ax + a² + a + 2 = 0
(c) (ax + 5)² = 5 – x²
(d) x² + (1 – 2a)x – ½ + a = 0

Textaufgaben zu Quad. Gleichungen

1. Eine positive Zahl ist um 5 größer als das 3-fache einer zweiten, ebenfalls positiven Zahl. Das Produkt der Zahlen ist 68.

Lösung: 4; 17

2. Addiert man das 3-fache einer bestimmten Zahl zum Doppelten ihres Kehrwertes, so erhält man 5. Wie lautet die Zahl?

Lösung: 1 bzw.

3. Welche Maße hat ein Rechteck mit 50m Umfang und 150m² Flächeninhalt?

Lösung: l=15m, b=10m.

4.) Die Hypothenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks misst 34cm. Wie lang sind die Katheten, wenn ihre Längen sich um 14 cm unterscheiden?

Lösung: 16, 30.

5. Ein rundherum gleich breiter Bilderrahmen hat die Außenabmessungen 60cm x 48cm. Wie breit ist der Rahmen, wenn von der Bildfläche 1408 cm² zu sehen sind?

Lösung: 8cm.

6. Ein Pilot durchfliegt eine Strecke von 600km Länge und braucht dafür eine bestimmte, unbekannte Zeit. Würde er die Geschwindigkeit um 40 km/h steigern, so brauchte er für dieselbe Strecke um eine halbe Stunde weniger. Berechne Flugdauer und Durchschnittsgeschwindigkeit!

Lösung: Durchschnittsgeschwindigkeit = 200km/h. Flugdauer: 3 Stunden.

7. Ein Geschäftsmann kauft eine Anzahl Hemden um 900 € und verkauft alle bis auf 6 mit einem Gewinn von 10 € pro Hemd. Mit dem Gesamterlös aus dem Verkauf könnte er um 30 Hemden mehr als zuerst kaufen. Berechne den Einkaufspreis/Hemd!

Lösung: 15 €.

8. Verlängert man die Kanten eines Würfels um 2 cm, so nimmt sein Volumen um 1016cm³ zu. Berechne die Oberflächen der beiden Würfel!

Lösung: 864 bzw. 1176 cm³

9. Bei einem Drehzylinder ist die Höhe um 6cm größer als der Durchmesser. Die Mantelfläche beträgt 1100cm². Berechne das Volumen!

Lösung: 4386,53 cm³

Stammfunktionen

Berechne folgende Integrale (Grundintegrale, ohne Verwendung von Integrationsmethoden!)

1.

2.

3.

4.

Extremwertaufgaben

1. Ein Kellerfenster soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wenn sein Umfang u = 4 m sein soll, wie sind die Abmessungen zu wählen, damit möglichst viel Licht durch das Fenster fällt?

2. Zwischen den 8 km voneinander entfernten Punkten A und B einer geradlinig verlaufenden Eisenbahnstrecke soll ein Bahnhof für zwei Orte C und D errichtet werden. C hat von A einen Normalabstand von 2 km, D hat von B einen Normalabstand von 5 km. Beide Orte liegen auf der gleichen Seite der Eisenbahnstrecke. In welcher Entfernung von A muß der Bahnhof gebaut werden, damit die Gesamtlänge des Weges vom Bahnhof nach C und D minimal wird ? Wie lang sind die beiden Wege?

Weitere Übungen für SCB

Übungen für SCB :-)

Differenzialrechnung

Eine Kugel wird senkrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat sie die Höhe s(t)=34t-5t² erreicht (s in m, t in s).
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 3 Sekunden und nach genau 3 Sekunden?
b) Wann und in welcher Höhe dreht die Kugel um und fliegt wieder zu Boden?
c) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit schlägt die Kugel auf dem Boden auf?